Un tableau de signe indique, sur les intervalles de x, où une expression est positive, négative ou nulle. Pour le dresser, repérez les zéros des facteurs et les valeurs interdites, classez-les, puis déduisez le signe entre deux repères.
Face à (x − 2)(x + 3)⁄(x − 1), l’erreur fréquente consiste à placer 1 comme un zéro. Cette valeur interdit le calcul. Avec mes enfants instruits à la maison, je commence par séparer ces deux repères avant de remplir les signes.
Tableau de signe : définition et lecture rapide
Un tableau de signes organise le signe d’une expression, souvent factorisée, selon les valeurs de x. Il indique si l’expression est positive, négative ou nulle sur chaque intervalle. En Seconde, il sert à étudier une fonction ou résoudre une inéquation.
Un zéro est une valeur pour laquelle l’expression vaut 0 : il peut être inclus si l’inéquation comporte « égal ». Une valeur interdite rend l’expression non définie, généralement parce qu’un dénominateur est nul : elle reste toujours exclue.
Un facteur est une partie multipliée à une autre ; un intervalle est une portion de la droite des réels. Le tableau rend visible le lien entre calcul, fonction et inéquation.
Comment dresser un tableau de signe, étape par étape
Voici une méthode stable, y compris à la maison.
- Écrivez l’expression sous une forme exploitable : produit ou quotient si possible.
- Factorisez. Une expression développée du second degré doit souvent devenir un produit de facteurs.
- Cherchez les zéros de chaque facteur et, pour un quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur.
- Rangez ces repères dans l’ordre croissant sur la ligne des x.
- Complétez les lignes de signes, puis multipliez ou divisez les signes pour lire celui de l’expression entière.
Voici le tableau complet de (x − 2)(x + 3)⁄(x − 1). Les zéros sont −3 et 2. En 1, le dénominateur s’annule : les deux barres marquent la valeur interdite.
| x | −∞ | −3 | 1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| x + 3 | − | 0 | + | + | + |
| x − 2 | − | − | − | 0 | + |
| x − 1 | − | − | || | + | + |
| (x − 2)(x + 3)⁄(x − 1) | − | 0 | || | 0 | + |
Avec 3x + 12, on résout 3x + 12 = 0, donc x = −4. Le coefficient 3 étant positif, l’expression est négative avant −4 puis positive après. Pour ax + b, cette règle signifie qu'un coefficient positif fait passer de − à + au zéro ; un coefficient négatif fait passer de + à −.
En IEF, je demande : « Pourquoi ce facteur change-t-il de signe ici ? » Cette verbalisation évite la mémorisation mécanique.
Produit, quotient et inéquation : appliquer correctement le tableau
Dans un produit, l’expression est nulle dès qu’un facteur est nul. Dans un quotient, il faut distinguer les zéros du numérateur des valeurs qui annulent le dénominateur.
| Expression | Ce qui annule l’expression | Ce qui est interdit | Ligne de résultat |
|---|---|---|---|
| Produit (x − 2)(x + 1) | x = 2 ou x = −1 | Aucune valeur | 0 aux deux zéros |
| Quotient (x − 2)/(x + 1) | x = 2 | x = −1 | 0 en 2 ; non défini en −1 |
Résolvons (x − 2)/(x + 1) ≥ 0. Le numérateur est négatif avant 2, nul en 2, puis positif. Le dénominateur est négatif avant −1, interdit en −1, puis positif.
| x | −∞ | −1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x − 2 | − | − | 0 | + |
| x + 1 | − | || | + | + |
| (x − 2)/(x + 1) | + | || | 0 | + |
La solution est ]−∞ ; −1[ ∪ [2 ; +∞[. La valeur −1 est exclue, tandis que 2 est inclus puisque le quotient y vaut 0.
Erreurs fréquentes dans les tableaux de signes
Ne remplissez pas le tableau avant d’avoir factorisé : un facteur peut être oublié ou mal placé. Pour un quotient, étudiez le dénominateur avant toute conclusion. Une valeur interdite ne devient jamais un zéro.
Racines de multiplicité paire ou impaire : avec (x − 2)², le facteur est positif de part et d’autre de 2 et nul en 2 : son signe ne bascule pas. Avec x − 2, au contraire, le signe change en 2. Plus généralement, une racine de multiplicité paire conserve le signe, tandis qu’une multiplicité impaire le fait changer. Cette règle est essentielle dès qu’un facteur est élevé au carré.
Choisissez une valeur test dans chaque intervalle et déterminez mentalement le signe des facteurs. Ce contrôle révèle une inversion de signe ou une borne oubliée. Routine : « Mon expression est-elle factorisée ? » puis « Ai-je exclu les valeurs interdites ? »
Les réponses directes
Un facteur affine change de signe lorsqu'il passe par son zéro. Pour les autres facteurs, il faut étudier leur forme et vérifier le signe sur les intervalles séparés par les valeurs remarquables.
La factorisation fait apparaître les facteurs, donc les valeurs qui annulent l'expression. Elle rend aussi la règle des signes applicable facteur par facteur.
Non. Si le dénominateur est nul, le quotient n'est pas défini : cette valeur reste exclue, quel que soit le signe affiché ailleurs dans le tableau.
Choisir une valeur test dans chaque intervalle et calculer rapidement le signe de l'expression. Ce contrôle permet de détecter une inversion de signe ou une valeur oubliée.
Prenez une expression factorisée courte et suivez le même ordre : repères, ligne de chaque facteur, puis signe final. Vérifiez une valeur dans chaque intervalle.
Vos principales questions
Comment faire un tableau de signes et de variations ?
Commencez par distinguer les objectifs. Pour un tableau de signes, cherchez les zéros et les valeurs interdites. Pour un tableau de variations, déterminez d’abord le domaine de la fonction. Calculez ou étudiez ensuite le signe de sa dérivée f'. Reportez les signes de f' sur les intervalles du domaine : un signe positif indique que f augmente, un signe négatif qu’elle diminue. Inscrivez enfin les variations de f et, si elles sont connues, ses valeurs aux repères.
Comment résoudre une inéquation avec un tableau de signes ?
Après avoir complété la dernière ligne, sélectionnez les intervalles dont le signe répond à l’inéquation. Pour « supérieur ou égal à zéro », retenez les signes + et les zéros. Pour « strictement supérieur », retirez les zéros. Toute valeur interdite reste exclue.
Comment déterminer le signe d’une fonction ?
Écrivez la fonction sous forme factorisée lorsque c’est possible. Cherchez les valeurs qui annulent chaque facteur, placez-les dans l’ordre, puis étudiez le signe de chaque facteur entre ces repères. Multipliez ensuite les signes des facteurs pour obtenir le signe de la fonction.
Comment trouver une valeur interdite dans un tableau de signes ?
Repérez le dénominateur si l’expression est un quotient. Résolvez l’équation « dénominateur = 0 » : les solutions obtenues sont interdites, car une division par zéro n’est pas définie. Placez-les sur la ligne des x et excluez-les toujours de la solution.
Quand met-on deux barres dans un tableau de signes ?
Les deux barres servent souvent à marquer une valeur interdite dans un tableau de quotient. Elles signalent une rupture de domaine : l’expression n’existe pas à cette valeur. La notation peut varier selon l’enseignant, mais l’exclusion ne varie pas.
Qu’est-ce qu’une valeur interdite dans un tableau de signes ?
C’est une valeur de x pour laquelle l’expression ne peut pas être calculée. Le cas habituel est un quotient dont le dénominateur vaut zéro. Contrairement à un zéro de l’expression, elle ne produit jamais un résultat égal à zéro et ne peut jamais être incluse dans une solution.
Dernière actualisation : 29 juillet 2026